移動(dòng)機(jī)器人單個(gè)輪子動(dòng)力學(xué)模型:輪子剛體?

在大部分研究文獻(xiàn)中都將輪子設(shè)定為剛體，不可變形的圓盤(pán)，并將輪子與地面的相互作用認(rèn)作是點(diǎn)接觸。實(shí)際中，大部分輪子是由可變形材料(如橡膠)制成，所以相互作用是接觸面。在本節(jié)中，假設(shè)全方位移動(dòng)機(jī)器人重心不高，因此當(dāng)機(jī)器人加速運(yùn)動(dòng)時(shí)由重心偏高產(chǎn)生的各輪對(duì)地壓力的變化忽略不計(jì)。

基于車(chē)輛動(dòng)力學(xué)理論，當(dāng)全方位移動(dòng)機(jī)器人加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)輪與地面的接觸 變形所產(chǎn)生的切向力是車(chē)輛或移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的牽引驅(qū)動(dòng)力。只要輪子和地面間 的接觸區(qū)域，即輪子接地印跡上承受切向力，就會(huì)出現(xiàn)不同程度的打滑，因此嚴(yán)格 來(lái)講理想純滾動(dòng)假設(shè)條件并不符合實(shí)際情況。將加速過(guò)程中的車(chē)輪的打滑減到Z少是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制的目標(biāo)，而對(duì)單個(gè)輪子進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析是前提。

當(dāng)輪子在地面上滾動(dòng)時(shí)，輪子與地面在接觸區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的各種相互作用力和 相應(yīng)的變形都伴隨著能量損失，這種能量損失是產(chǎn)生滾動(dòng)阻力的根本原因。為了 提高機(jī)器人的加速性能，很多輪子都采用橡膠輪或其他具有塑性變形的材料制成， 而且一些家用機(jī)器人或娛樂(lè)機(jī)器人(足球機(jī)器人)都會(huì)在地毯上運(yùn)動(dòng)，從而使機(jī)器 人運(yùn)動(dòng)時(shí)更容易產(chǎn)生滾動(dòng)阻力。正是這種彈性變形產(chǎn)生的彈性遲滯損失形成了阻 礙輪子滾動(dòng)的一種阻力偶，當(dāng)輪子只受徑向載荷而不滾動(dòng)時(shí)，地面對(duì)輪子的法向反 作用力的分布是前后對(duì)稱的，其合力F. 與法向載荷P 重合于法線n-n '方向，如圖 3-2-1(a) 所示。當(dāng)輪子滾動(dòng)時(shí)，在法線nn '前后相對(duì)應(yīng)點(diǎn)變形雖然相同，但由于彈 性遲滯現(xiàn)象，處于加載壓縮過(guò)程的前部的地面法向反作用力就會(huì)大于處于卸載恢 復(fù)過(guò)程的后部的地面法向反作用力。這樣就使地面法向反作用力前后的分布并不 對(duì)稱，而使它們的合力F. 相對(duì)于法線nn '向前移了一個(gè)距離e, 見(jiàn)圖3-2-1(b), 它 隨彈性遲滯損失的增大而變大。法向反作用合力F₂ 與法向載荷P 大小相等，方向 相反。

如果將法向反作用力F. 向后平移至通過(guò)輪子中心，與其垂線重合，則輪子在 地面上滾動(dòng)時(shí)的受力情況如圖3-2-2所示，出現(xiàn)一個(gè)附加的力偶矩T=F,e, 這個(gè) 阻礙車(chē)輪滾動(dòng)的力偶矩稱為滾動(dòng)阻力偶矩。由圖3-2-2可知，欲使輪子在地面上 保持勻速滾動(dòng)，需要在輪軸上加一驅(qū)動(dòng)力矩r 或是加一推力Fp, 從而克服上述滾 動(dòng)阻力偶矩。相關(guān)數(shù)學(xué)關(guān)系如下所示。

T=T=Fe (3-2-4)

圖3-2-3中分別是驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪在加速過(guò)程中的受力圖。各參數(shù)說(shuō)明如下： R,r 分別為驅(qū)動(dòng)輪和從動(dòng)輪的半徑，P,P, 為全方位輪、從動(dòng)輪上的載荷，N,Np 為 地面對(duì)驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪的法向反作用力，fa·fm 表示作用在驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪上的地 面切向反作用力，F(xiàn), 是驅(qū)動(dòng)軸、從動(dòng)軸作用于驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪的平行于地面的 力 ，M,M, 是驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪滾動(dòng)阻力偶矩，在機(jī)器人載荷一定的情況下，近似不 變。Ee 。 為驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪的角加速度，a,an 為驅(qū)動(dòng)輪、從動(dòng)輪軸心平行于地面 的加速度，JaJ, 分別為主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，T 為電機(jī)作用于驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn) 矩，ea,e, 是由于輪子與地面之間的印跡表面上存在著壓力分布問(wèn)題，而使得地面 對(duì)輪子法向反作用力偏移的距離。 根據(jù)圖3-2-3所示受力情況，驅(qū)動(dòng)輪與從動(dòng)輪的動(dòng)力學(xué)模型分別如式(3-2-9)、 式(3-2-10)所示。其中ma 是驅(qū)動(dòng)輪質(zhì)量，m,是從動(dòng)輪質(zhì)量。